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一、反常积分是什么？
二、无穷区间上的反常积分的概念与敛散性
三、无界函数的反常积分的概念与敛散性
四、敛散性的判别法
一、反常积分是什么？
我们已经知道，定积分存在有两个必要条件：一是积分区间有限，二是被积函数有界。如果破坏了积分区间的有限性，就引出无穷区间上的反常积分；如果破坏了被积函数的有界性，就引出了无界函数的反常积分。
二、无穷区间上的反常积分的概念与敛散性
设F（x）是f（x）在相应区间上的一个原函数
若① f（x）dx = F（x）- F（a）极限存在，则称反常积分收敛，否则发散。
若② f（x）dx=F（b）- F（x）极限存在，则称反常积分收敛，否则发散。
若③ f（x）dx = f（x）dx + f（x）dx右端两个积分都收敛，则收敛，否则发散。
注：- 到+ 之间的不能直接进行积分，需要分成两部分分别积分。
例， dx由图像看几何意义好像是积分为0，收敛，其实对其进行上面③式计算，得到
dx = dx + dx，我们以算右边为例， dx = - 0=+的，即此反常积分是发散的。
三、无界函数的反常积分的概念与敛散性
设F（x）是f（x）在相应区间上的一个原函数，为f（x）的瑕点（使f（x）在的领域内无界的点即为瑕点）
若x=a是唯一瑕点，则f（x）dx=F（b）- F（x）极限存在，则称反常积分收敛，否则发散。
若x=b是唯一瑕点，则f（x）dx= F（x）-F（a）极限存在，则称反常积分收敛，否则发散。
若x=c∈（a，b）是唯一瑕点，则f（x）dx=f（x）dx + f（x）dx，右端两个积分收敛，则称反常积分收敛，否则发散。
四、敛散性的判别法
（1）无穷区间
比较判别法
设函数f（x），g（x）在区间[a，+）上连续，并且0≤f（x）≤g（x）（a≤x≤+），则
当①g（x）dx收敛时，f（x）dx收敛；
当②f（x）dx发散时，g（x）dx发散；
比较判别法的极限形式
设函数f（x），g（x）在区间[a，+）上连续， 且f（x）≥0，g（x）＞0， = （有限或），则
①当 ≠ 0且 ≠ 时，g（x）dx与f（x）dx有相同的敛散性；
②当 = 0时，若g（x）dx收敛，则f（x）dx也收敛；
注：为0时说明分子是分母的高阶无穷小，即f（x）趋近于0的速度比g（x）快，即f（x）更接近于0
③当 = 时，若g（x）dx发散，则f（x）dx也发散；
（2）无界函数
比较判别法
设f（x），g（x）在（a，b]上连续，瑕点为x=a，且0≤f（x）≤g（x），ze
①当g（x）dx收敛，则f（x）dx收敛；
②当f（x）dx发散，则g（x）dx发散。
比较判别法的极限形式
设f（x），g（x）在（a，b]上连续，瑕点为x=a，且f（x）≥0，g（x）＞0（a＜x≤b），
= （有限或），则
①当 ≠ 0且 ≠ 时，f（x）dx和g（x）dx有相同的敛散性；
②当 = 0时，若g（x）dx收敛，则f（x）dx收敛；
③当 = 时，若g（x）dx发散，则f（x）dx发散。
（3）四个重要结论
①dx，当0 ②dx，当p>1时，其收敛；当p≤1时，其发散； ③当0 ④当a>1时，反常积分dx收敛。